Question

【題目】如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．

（2）性質探究：試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數量關系．
猜想結論：（要求用文字語言敘述）
寫出證明過程（先畫出圖形，寫出已知、求證）．
（3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AB=AD，

∴點A在線段BD的垂直平分線上，

∵CB=CD，

∴點C在線段BD的垂直平分線上，

∴直線AC是線段BD的垂直平分線，

∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；

（2）

猜想結論：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等．

如圖2，已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為E，

求證：AD2+BC2=AB2+CD2

證明：∵AC⊥BD，

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2；

（3）

解：連接CG、BE，

∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

，

∴△GAB≌△CAE，

∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，

∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，

∴四邊形CGEB是垂美四邊形，

由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，

∵AC=4，AB=5，

∴BC=3，CG=4 ，BE=5 ，

∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73，

∴GE=

【解析】（1）根據垂直平分線的判定定理證明即可；（2）根據垂直的定義和勾股定理解答即可；（3）根據垂美四邊形的性質、勾股定理、結合（2）的結論計算．