Question

【題目】
（1）如圖1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，現(xiàn)以C為圓心、CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交邊AC于D，再以A為圓心、AD為半徑畫(huà)弧交邊AB于E．求證： = ．（這個(gè)比值 叫做AE與AB的黃金比．）
（2）如果一等腰三角形的底邊與腰的比等于黃金比，那么這個(gè)等腰三角形就叫做黃金三角形．請(qǐng)你以圖2中的線段AB為腰，用直尺和圓規(guī)，作一個(gè)黃金三角形ABC． （注：直尺沒(méi)有刻度！作圖不要求寫(xiě)作法，但要求保留作圖痕跡，并對(duì)作圖中涉及到的點(diǎn)用字母進(jìn)行標(biāo)注）

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，

∴設(shè)AB=2x，BC=x，則AC= x，

∴AD=AE=（ ﹣1）x，

∴ = = ．

（2）解：底與腰之比均為黃金比的等腰三角形，如圖：

①過(guò)點(diǎn)B作EB⊥AB，作AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，使BE=BD，

②連接AE，以E為圓心，BE長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，使EF=BE，

③以B為圓心AF長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交點(diǎn)為C，

則△ABC即為所求．

．

【解析】（1）利用位置數(shù)表示出AB，AC，BC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案；（2）根據(jù)底與腰之比均為黃金比的等腰三角形，畫(huà)圖即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解黃金分割的相關(guān)知識(shí)，掌握把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC=0.618AB．