Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A(﹣3，0)，點C(0，3)，點D為二次函數的頂點，DE為二次函數的對稱軸，點E在x軸上．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）在拋物線A、C兩點之間有一點F，使△FAC的面積最大，求F點坐標；

（3）直線DE上是否存在點P到直線AD的距離與到x軸的距離相等？若存在，請求出點P，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3，D(﹣1，4)；（2）F點坐標為(﹣，)；（3）存在，滿足條件的P點坐標為(﹣1，﹣1)或(﹣1，﹣﹣1)

【解析】

（1）把代入得得到關于的方程組，然后解方程組即可求出拋物線解析式，再把解析式配成頂點式可得D點坐標；
（2）如圖2，作FQ∥y軸交AC于Q，先利用待定系數法求出直線AC的解析式，設，則，則可表示出，，根據三角形面積公式結合二次函數的性質即可求解；
（3）設，根據得到，最后分兩種情況求解即可得出結論．

解：（1）把代入得

，

∴ ，

∴拋物線的解析式為：，

∵，

∴點D的坐標為：；

（2）如圖2，作FQ∥y軸交AC于Q，

設直線AC的解析式為，

把代入，

得，

解得，

∴直線AC的解析式為： ．

設，則，

∴，

∴=，

當時，△FAC的面積最大，此時F點坐標為（﹣，），

（3）存在．

∵D（﹣1，4），A（﹣3，0），E（﹣1，0），

∴，

設，則，，如圖3，

∵∠HDP=∠EDA，∠DHP=∠DEA=90°

∴，

∴，

∴，

當t＞0時，，解得：，

當t＜0時，，解得： ，

綜上所述，滿足條件的P點坐標為或