Question

【題目】在數學興趣小組活動中，小明進行數學探究活動，將邊長為2的正方形ABCD與邊長為的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上．

（1）小明發現DG⊥BE，請你幫他說明理由；

（2）如圖2，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，當點B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時BE的長；

（3）如圖3，小明將正方形ABCD繞點A繼續逆時針旋轉，線段DG與線段BE將相交，交點為H，寫出△GHE與△BHD面積之和的最大值，并簡要說明理由．

Answer 1

【答案】（1）理由見試題解析；（2）；（3）6．

【解析】

試題分析：（1）由四邊形ABCD與四邊形AEFG為正方形，利用正方形的性質得到兩對邊相等，且夾角相等，利用SAS得到三角形ADG與三角形ABE全等，利用全等三角形對應角相等得∠AGD=∠AEB，如圖1所示，延長EB交DG于點H，利用等角的余角相等得到∠DHE=90°，利用垂直的定義即可得DG⊥BE；

（2）由四邊形ABCD與四邊形AEFG為正方形，利用正方形的性質得到兩對邊相等，且夾角相等，利用SAS得到三角形ADG與三角形ABE全等，利用全等三角形對應邊相等得到DG=BE，如圖2，過點A作AM⊥DG交DG于點M，∠AMD=∠AMG=90°，在直角三角形AMD中，求出AM的長，即為DM的長，根據勾股定理求出GM的長，進而確定出DG的長，即為BE的長；

（3）△GHE和△BHD面積之和的最大值為6，理由為：對于△EGH，點H在以EG為直徑的圓上，即當點H與點A重合時，△EGH的高最大；對于△BDH，點H在以BD為直徑的圓上，即當點H與點A重合時，△BDH的高最大，即可確定出面積的最大值．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都為正方形，∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE，在△ADG和△ABE中，∵AD=AB， ∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴∠AGD=∠AEB，如圖1所示，延長EB交DG于點H，在△ADG中，∠AGD+∠ADG=90°，∴∠AEB+∠ADG=90°，在△EDH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，∴∠DHE=90°，則DG⊥BE；

（2）∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都為正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE，∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，即∠DAG=∠BAE，在△ADG和△ABE中，∵AD=AB， ∠DAG=∠BAE， AG=AE，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴DG=BE，如圖2，過點A作AM⊥DG交DG于點M，∠AMD=∠AMG=90°，∵BD為正方形ABCD的對角線，∴∠MDA=45°，在Rt△AMD中，∠MDA=45°，∴cos45°=，∵AD=2，∴DM=AM=，在Rt△AMG中，根據勾股定理得：GM==，∵DG=DM+GM=，∴BE=DG=；

（3）△GHE和△BHD面積之和的最大值為6，理由為：

對于△EGH，點H在以EG為直徑的圓上，∴當點H與點A重合時，△EGH的高最大；

對于△BDH，點H在以BD為直徑的圓上，∴當點H與點A重合時，△BDH的高最大，則△GHE和△BHD面積之和的最大值為2+4=6．