Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線AC：y＝﹣3x+3與直線AB：y＝ax+b交于點A，且B（﹣9，0）．

（1）若F是第二象限位于直線AB上方的一點，過F作FE⊥AB于E，過F作FD∥y軸交直線AB于D，D為AB中點，其中△DFF的周長是12+4，若M為線段AC上一動點，連接EM，求EM+MC的最小值，此時y軸上有一個動點G，當|BG﹣MG|最大時，求G點坐標；

（2）在（1）的情況下，將△AOC繞O點順時針旋轉60°后得到△A′OC'，如圖2，將線段OA′沿著x軸平移，記平移過程中的線段OA′為O′A″，在平面直角坐標系中是否存在點P，使得以點O′，A″，E，P為頂點的四邊形為菱形，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）-，（0，）；（2）存在，（2，2+3）或（﹣9，2）或（6﹣3，﹣2）

【解析】

（1）點，則點，過點C作x軸的垂線、過點M作y軸的垂線，兩垂線交于點H，MH＝MCcosα＝MC，當點E、M、H三點共線時，EM+MH＝EM+MC最小，點，EM+MC最小值＝EH＝xC﹣xE＝；作點M關于y軸的對稱點，連接BM′交y軸于點G，則此時|BG﹣MG|最大，即可求解；

（2）設線段OA′沿著x軸平移了m個單位，則點O′、A″的坐標分別為（m，0）、(，)，而點，

①當O′A″是菱形的邊時，則EP（P′）＝O′A″＝OA＝3，即可求解；

②當O′A″是菱形的對角線時，設點P（a，b），由中點公式得：，，而EO＝EA，即：，即可求解．

（1）由AC：得：點A、C的坐標分別為：，

∴，

則，則

點，點A，代入y＝ax+b，

得：，解得：

則直線AB的表達式為：，

∴，

∴，則，

∵FE⊥AB，FD∥y軸，則∠F＝∠ABO＝30°，

設：，則，，△DFF的周長是，

則，解得：，

D為AB中點，則點，

s＝ED＝4，則，

則點，

過點C作x軸的垂線、過點M作y軸的垂線，兩垂線交于點H，如圖1：

則∠HMC＝∠ACO＝α，則MH＝MCcosα＝MC，

當點E、M、H三點共線時，EM+MH＝EM+MC最小，

則，

點M在直線AC上，則點，

作點M關于y軸的對稱點，連接BM′交y軸于點G，如圖2：

則點G為所求，此時|BG﹣MG|最大，

將、的坐標代入一次函數表達式：y＝kx+b，

解得：

故點G的坐標為：；

綜上，EM+MC最小值為：﹣，G的坐標為：（0，）；

（2）將△AOC繞O點順時針旋轉60°后得到△A′OC'，

則△OAA′為邊長為4的等邊三角形，則點A′（，），

設線段OA′沿著x軸平移了m個單位，

則點O′、A″的坐標分別為（m，0）、（，），而點，

①當O′A″是菱形的邊時，

直線OA′和直線AB的傾斜角都是30°，故O′A″∥OA′∥AB，

則EP（P′）＝O′A″＝OA＝3，

則xP﹣xE＝3cos30°＝，

故點P（2，2+3），

同理點P′（，2）；

②當O′A″是菱形的對角線時，

設點P（a，b），

由中點公式得：，，

而EO＝EA，即：，

解得：，b＝﹣2，﹣6，

故：6﹣3，，

則點P（6﹣3，﹣2）；

綜上，點P坐標為：（2，2+3）或（﹣9，2）或（6﹣3，﹣2）．