Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，CD⊥AB于點D，CD＝3．點P從點A出發沿線段AC以每秒1個單位的速度向終點C運動．過點P作PQ∥AB交BC于點Q，過點P作AC的垂線，過點Q作AC的平行線，兩線交于點E．設點P的運動時間為t秒．

（1）求線段PQ的長．（用含t的代數式表示）

（2）當點E落在邊AB上時，求t的值．

（3）當△PQE與△ACD重疊部分圖形是四邊形時，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）PQ＝5﹣t；（2）t＝；（3）0＜t≤1或≤t＜5

【解析】

（1）由題意得出PC＝AC﹣AP＝5﹣t，由PQ∥AB，得出△PQC∽△ABC，利用相似三角形對應邊成比例即可求得PQ＝5﹣t；

（2）當點E落在邊AB上時，在中，求得AD＝4，cos∠CAD＝，在中，cos∠CAD，推出AE，由PQ∥AB，EQ∥AC，得出四邊形AEQP是平行四邊形，則PQ＝AE，即5﹣t＝，即可得出結果；

（3）當點E、D、Q三點共線時，由PQ∥AB，EQ∥AC，得出四邊形ADQP是平行四邊形，則PQ＝AD＝4，即5﹣t＝4，得出t＝1，則當△PQE與△ACD重疊部分圖形是四邊形時，0＜t≤1；當點E落在邊AB上時，由（2）得t＝，AE＝PQ＝＜AD，得出點P在到達點C前，點E始終在CD的左邊，即≤t＜5．

（1）∵AB＝AC＝5，點P從點A出發沿線段AC以每秒1個單位的速度向終點C運動，點P的運動時間為t秒，

∴PC＝AC﹣AP＝5﹣t，

∵PQ∥AB，

∴△PQC∽△ABC，

∴

即：

∴PQ＝5﹣t；

（2）當點E落在邊AB上時，如圖1所示：

在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，

AD，

∴cos∠CAD，

在Rt△APE中，∠APE＝90°，cos∠CAD，

∴，

∴AEAP，

∵PQ∥AB，EQ∥AC，

∴四邊形AEQP是平行四邊形，

∴PQ＝AE，

即：5﹣t＝，

解得：t；

（3）當點E、D、Q三點共線時，如圖2所示：

∵PQ∥AB，EQ∥AC，

∴四邊形ADQP是平行四邊形，

∴PQ＝AD＝4，

∴5﹣t＝4，

∴t＝1，

∴當△PQE與△ACD重疊部分圖形是四邊形時，0＜t≤1；

當點E落在邊AB上時，如圖1所示，

由（2）得：t，

AE＝PQ＝5﹣＜AD，

∴點P在到達點C前，點E始終在CD的左邊，

∵AC＝5，

∴t＜5，

∴≤t＜5，

綜上：當△PQE與△ACD重疊部分圖形是四邊形時，t的取值范圍為0＜t≤1或≤t＜5．