Question

【題目】如圖，中，點是邊上的一個動點，過點作直線，交的平分線于點，交的外角平分線于點．

判斷與的大小關系？并說明理由；

當點運動到何處時，四邊形是矩形？并說出你的理由；

在的條件下，當滿足什么條件時，四邊形是正方形．直接寫出答案，不需說明理由．

Answer 1

【答案】(1）詳見解析；（2）當為中點時，四邊形是矩形，理由詳見解析；（3）當是直角三角形時，即當時，四邊形會是正方形，理由詳見解析.

【解析】

（1）利用平行線的性質得：∠OEC＝∠ECB，根據角平分線的定義可知：∠ACE＝∠ECB，由等量代換和等角對等邊得：OE＝OC，同理：OC＝OF，可得結論；

（2）先根據對角線互相平分證明四邊形AECF是平行四邊形，再由角平分線可得：∠ECF＝90°，利用有一個角是直角的平行四邊形可得結論；

（3）由（2）可知，當點O為AC的中點時，四邊形AECF是矩形，再證明AC⊥EF，即可得出答案．

∵，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴，

同理可得：，

∴；

當為中點時，四邊形是矩形；

理由如下：

∵，（已證），

∴四邊形是平行四邊形，

∵平分，平分，

∴，，

∴，

即，

∴四邊形是矩形；

當是直角三角形時，即當時，四邊形會是正方形；

理由：由得，當點為的中點時，四邊形是矩形，

∵，平分，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴四邊形是正方形．