Question

【題目】已知，如圖1，直線y=x+3與x軸、y軸分別交于A、C兩點，點B在x軸上，點B的橫坐標為，拋物線經過A、B、C三點．點D是直線AC上方拋物線上任意一點．

（1）求拋物線的函數關系式；

（2）若P為線段AC上一點，且S△PCD=2S△PAD，求點P的坐標；

（3）如圖2，連接OD，過點A、C分別作AM⊥OD，CN⊥OD，垂足分別為M、N．當AM+CN的值最大時，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）點P的坐標為（﹣，1）；（3）當AM+CN的值最大時，點D的坐標為（，）．

【解析】

（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點A、C的坐標，由點B所在的位置結合點B的橫坐標可得出點B的坐標，根據點A、B、C的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的函數關系式；

（2）過點P作PE⊥x軸，垂足為點E，則△APE∽△ACO，由△PCD、△PAD有相同的高且S△PCD=2S△PAD，可得出CP=2AP，利用相似三角形的性質即可求出AE、PE的長度，進而可得出點P的坐標；

（3）連接AC交OD于點F，由點到直線垂線段最短可找出當AC⊥OD時AM+CN取最大值，過點D作DQ⊥x軸，垂足為點Q，則△DQO∽△AOC，根據相似三角形的性質可設點D的坐標為（﹣3t，4t），利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出關于t的一元二次方程，解之取其負值即可得出t值，再將其代入點D的坐標即可得出結論．

（1）∵直線y=x+3與x軸、y軸分別交于A、C兩點，

∴點A的坐標為（﹣4，0），點C的坐標為（0，3）．

∵點B在x軸上，點B的橫坐標為，

∴點B的坐標為（，0），

設拋物線的函數關系式為y=ax2+bx+c（a≠0），

將A（﹣4，0）、B（，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c，得：

，解得： ，

∴拋物線的函數關系式為y=﹣x2﹣x+3；

（2）如圖1，過點P作PE⊥x軸，垂足為點E，

∵△PCD、△PAD有相同的高，且S△PCD=2S△PAD，

∴CP=2AP，

∵PE⊥x軸，CO⊥x軸，

∴△APE∽△ACO，

∴，

∴AE=AO=，PE=CO=1，

∴OE=OA﹣AE=，

∴點P的坐標為（﹣，1）；

（3）如圖2，連接AC交OD于點F，

∵AM⊥OD，CN⊥OD，

∴AF≥AM，CF≥CN，

∴當點M、N、F重合時，AM+CN取最大值，

過點D作DQ⊥x軸，垂足為點Q，則△DQO∽△AOC，

∴，

∴設點D的坐標為（﹣3t，4t）．

∵點D在拋物線y=﹣x2﹣x+3上，

∴4t=﹣3t2+t+3，

解得：t1=﹣（不合題意，舍去），t2=，

∴點D的坐標為（，），

故當AM+CN的值最大時，點D的坐標為（，）．