Question

【題目】已知，是的直徑，是上一點，和過點的切線互相垂直，垂足為點．

如圖，求證：平分；

如圖，直線與的延長線交于點，的平分線交于點，交于點，求證：；

在的條件下，如圖，若，，求的長．

Answer 1

【答案】證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）連接OC，根據切線與圓的關系和直角三角形內角之間的關系，可以推出AC平分∠DAB；
（2）根據圓周角定理以及三角形的外角的性質定理證明∠ECG=∠EGC，根據等角對等邊即可證得；
（3）證明△ECB∽△EAC，根據相似三角形的性質求得，在直角△EOC中利用勾股定理列方程求得BE和CE，進而求得BG，然后根據△AGF∽△CGB，根據相似三角形的性質求得FG的長．

證明：連接，如圖，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

即平分；

證明：如圖，∵是的切線，

∴，

∵，，，

∴，

∴；

解：如圖，連接、、．

∵是直徑，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴．

∵是直徑，

∴．

∴，

∵，，

∴．

∴．

設，則，在中，，

解得，．

∵，∴，

∴，，

∴，

∵，，

∴，

∴，即，

∴．