Question

【題目】如圖，已知△ABD和△CEF都是斜邊為2cm的全等直角三角形，其中∠ABD=∠FEC=60°，且B、D、C、E都在同一直線上，DC=4．

（1）求證：四邊形ABFE是平行四邊形．
（2）△ABD沿著BE的方向以每秒1cm的速度運動，設△ABD運動的時間為t秒，
①當t為何值時，ABFE是菱形？請說明你的理由．
②ABFE有可能是矩形嗎？若可能，求出t的值及此矩形的面積；若不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵已知△ABD和△CEF都是斜邊為2cm的全等直角三角形，

∴AB=EF，

∵∠ABD=∠FEC，

∴AB∥EF，又AB=EF，

∴四邊形ABFE是平行四邊形

（2）

①當t=4時，ABFE是菱形．

理由如下：∵△ABD沿著BE的方向以每秒1cm的速度運動，

4秒后，△ABD移動的距離為4÷1=4，又DC=4，

∴D與C重合，

∴AF⊥BE，又四邊形ABFE是平行四邊形，

∴四邊形ABFE是菱形；

②當四邊形ABFE是矩形時，∠BAE=90°，

∵∠ABD=60°，

∴∠BEA=30°，

∴BE=2AB=4，AE= =2 ，

∵∠ABD=60°，AB=2，

∴BD=1，同理CE=1，

∴CD=4﹣1﹣1=2，

t=2÷1=2秒，矩形的面積=AB×AE=4 cm2

【解析】（1）根據全等三角形的性質得到AB=EF，根據平行線的判定定理證明AB∥EF，根據平行四邊形的判定定理證明結論；（2）①根據△ABD的移動速度和時間得到D與C重合，根據菱形的判定定理解答即可；②根據矩形的性質和正弦的定義求出BE，根據正切的定義求出AE，求出CD的長，得到t的值，根據矩形的面積公式求出面積．
【考點精析】掌握平行四邊形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．