Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是射線CB上的動點，點F是射線CD上一點，且AF⊥AE，射線EF與對角線BD交于點G，與射線AD交于點M；

（1）當點E在線段BC上時，求證：△AEF∽△ABD；
（2）在（1）的條件下，聯結AG，設BE=x，tan∠MAG=y，求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）當△AGM與△ADF相似時，求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠ADC=∠ADF=90°，

∵AF⊥AE，

∴∠EAF=90°，

∴∠BAD=∠EAF，

∴∠BAE=∠DAF，∵∠ABE=∠ADF=90°，

∴△ABE∽△ADF，

∴ = ，

∴ = ，∵∠BAD=∠EAF，

∴△AEF∽△ABD．

（2）

解：如圖連接AG．

∵△AEF∽△ABD，

∴∠ABG=∠AEG，

∴A、B、E、G四點共圓，

∴∠ABE+∠AGE=180°，

∵∠ABE=90°，

∴∠AGE=90°，

∴∠AGM=∠MDF，

∴∠AMG=∠FMD，

∴∠MAG=∠EFC，

∴y=tan∠MAG=tan∠EFC= ，

∵△ABE∽△ADF，

∴ = ，

∴DF= x，

∴y= ，

即y= （0≤x≤4）．

（3）

解：①如圖2中，當點E在線段CB上時，

∵△AGM∽ADF，

∴tan∠MAG= = ，

∴ = ，

解得x= ．

②如圖3中，當點E在CB的延長線上時，

由△MAG∽△AFD∽△EFC，

∴ = ，

∴ = ，

解得x=1，

∴BE的長為 或1．

【解析】（1）首先證明△ABE∽△ADF，推出 = ，推出 = ，因為∠BAD=∠EAF，即可證明△AEF∽△ABD．（2）如圖連接AG．由△AEF∽△ABD，推出∠ABG=∠AEG，推出A、B、E、G四點共圓，推出∠ABE+∠AGE=180°，由∠ABE=90°，推出∠AGE=90°，推出∠AGM=∠MDF，推出∠AMG=∠FMD，推出∠MAG=∠EFC，推出y=tan∠MAG=tan∠EFC= ，由△ABE∽△ADF，得 = ，得DF= x，由此即可解決問題．（3）分兩種情形①如圖2中，當點E在線段CB上時，②如圖3中，當點E在CB的延長線上時，分別列出方程求解即可．
【考點精析】關于本題考查的相似三角形的應用，需要了解測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解才能得出正確答案．