Question

【題目】鈍角三角形ABC中，∠BAC＞90°，AB=AC，∠ACB=α，過點(diǎn)A的直線l交BC邊于點(diǎn)D．點(diǎn)E在直線l上，且BC=BE．，點(diǎn)E在AD延長(zhǎng)線上．

①當(dāng)α=30°，點(diǎn)D恰好為BC中點(diǎn)時(shí)，補(bǔ)全圖1直接寫出∠BAE=　°，

∠BEA=　°；

②如圖2，若∠BAE=2α，求∠BEA的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；

Answer 1

【答案】①60，30;②∠BEA=α

【解析】

①只要證明AE⊥BC，△BCE是等邊三角形即可解決問題．②如圖2中，延長(zhǎng)CA到F，使得BF=BC，則BF=BE=BC，連接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N．

只要證明Rt△BMF≌Rt△BNE，推出∠BEA=∠F，由BF=BC，推出∠F=∠C=α，推出∠BEA=α即可．

解：（1）①補(bǔ)全圖1，如圖所示．

∵AB=AC，BD=DC，

∴AE⊥BC，

∴EB=EC，∠ADB=90°，

∵∠ABC=30°，

∴∠BAE=60°

∵BC=BE，

∴△BCE是等邊三角形，∠DEB=∠DEC，

∴∠BEC=60°，∠BEA=30°

故答案為60，30．

②如圖2中，延長(zhǎng)CA到F，使得BF=BC，則BF=BE=BC，連接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=α，

∴∠MAB=2α，∵∠BAN=2α，

∴∠BAM=∠BAN，

∴BM=BN，

在Rt△BMF和Rt△BNE中，

，

∴Rt△BMF≌Rt△BNE．

∴∠BEA=∠F，

∵BF=BC，

∴∠F=∠C=α，

∴∠BEA=α．