Question

如圖，已知等腰△ABC，AD是底邊BC上的高，AD：DC=1：3，將△ADC繞著點D旋轉，得△DEF，點A、C分別與點E、F對應，且EF與直線AB重合，設AC與DF相交于點O，則=  ．

Answer 1

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試題分析：如圖，作DG⊥AB于G，DH⊥AC與H，設AD=x，則BD=3x，由勾股定理就可以求出AB=x，由三角形的面積公式求出DG的值，由三角函數值求出AG，就可以表示出AE，從而求出AF，再由△AFO∽△DCO就可以求出結論．解答：解：作DG⊥AB于G，DH⊥AC與H，

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，∠B=∠C．
∴DG=DH．
設設AD=x，則BD=3x，由勾股定理，得
AB=x，
∴AC=x．
∴，
∴，
∴GD=．
∵ =tan∠C．
∴tan∠B=．
∵∠ADG+∠GAD=90°，∠B+∠GAD=90°，
∴∠ADG=∠B．
∴tan∠ADG=，
∴，
∴AG=x．
∵△FDE是由△CDA旋轉得來的，
∴△FDE≌△CDA，
∴DE=DA．∠F=∠C．
∵DG⊥AB，
∴AG=EG．
∴AE=2AG，
∴AE=．
∴AF= ．
∵∠AOF=∠DOC，∠F=∠C，
∴△AFO∽△DCO，
∴S△AOF：S△DOC==．
故答案為：．