Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，圓心為P（,）的動圓經過點A（1,2）且與軸相切于點B.

（1）當=2是，求⊙P的半徑；

（2）求關于的函數解析式，在圖②中畫出此函數圖像；

（3）請類比圓的定義（圓可以看成是到定點的距離等于定長的所有點的集合），給（2）中所得函數圖像進行定義：此函數圖像可以看成是到 的距離等于到 的距離的所有點的集合；

（4）當⊙P的半徑為1時，若⊙P與以上（2）中所得函數圖象相交于點C、D，其中交點D（，）在點C的右側，請利用圖②，則cos∠APD= ．

Answer 1

【答案】（1）圓P的半徑為1.25 ；（2）y= （x﹣1）2+1，圖象詳見解析；（3）點A， x軸；（4）cos∠APD= = ﹣2+．

【解析】

（1）根據兩點間距離公式列式計算即可；

（2）同（1）列出式子并整理，可得y=（x﹣1）2+1，然后描點畫圖即可；

（3）由（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2可知此函數圖像可以看成是到點A的距離等于到x軸的距離的所有點的集合；

（4）連接CD，連接AP并延長，交x軸于點F，設PE=a，用a表示出D點坐標，代入到拋物線解析式求出a的值，

解：（1）由x=2，得到P（2，y），

連接AP，PB，

∵圓P與x軸相切，

∴PB⊥x軸，即PB=y，

由AP=PB，得到 ，

解得：y=1.25 ，則圓P的半徑為1.25 ；

（2）同（1），由AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2，

整理得：y= （x﹣1）2+1，即圖象為開口向上的拋物線，

畫出函數圖象，如圖②所示；

（3）由（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2可知此函數圖像可以看成是到點A的距離等于到x軸的距離的所有點的集合；

（4）連接CD，連接AP并延長，交x軸于點F，

設PE=a，則有EF=a+1，ED= ，

∴D坐標為（ ，a+1），

代入拋物線解析式得：a+1= 0.25（1﹣a2）+1，

解得：a=﹣2+或a=﹣2﹣ （舍去），即PE=﹣2+ ，

在Rt△PED中，PE=﹣2+，PD=1，

則cos∠APD=﹣2+．