Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)線段MN的中點(diǎn)G作邊AB的垂線，垂足為點(diǎn)G，交△ABC的另一邊于點(diǎn)P，連接PM，PN，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，M，N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t=秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M，N相遇
（2）設(shè)△PMN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式
（3）取線段PM的中點(diǎn)K，連接KA，KC，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△KAC的面積是否變化？若變化，直接寫(xiě)出它的最大值和最小值；若不變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）2.5
（2）

解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，

由S△ABC=ACBC=ABCH得，CH==4.8，

∴AH==3.6，BH=10﹣3.6=6.4．

∵當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，M，N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，∴0≤t≤．

當(dāng)0≤t＜2.5時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊，如圖1、圖2，

MN=AB﹣AM﹣BN=10﹣t﹣3t=10﹣4t．

∵點(diǎn)G是MN的中點(diǎn)，∴MG=MN=5﹣2t，

∴AG=AM+MG=t+5﹣2t=5﹣t，

∴BG=10﹣（5﹣t）=t+5．

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)H重合，

則有5﹣t=3.6，解得t=1.4．

當(dāng)2.5＜t≤時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)N右邊，如圖3，

∵M(jìn)N=AM﹣AN=AM﹣（AB﹣BN）=t﹣（10﹣3t）=4t﹣10，

∴NG=MN=2t﹣5，

∴AG=AN+NG=10﹣3t+2t﹣5=5﹣t．

綜上所述：①當(dāng)0≤t≤1.4時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊，點(diǎn)P在BC上，如圖1，

此時(shí)MN=10﹣4t，BG=t+5，PG=BGtanB=（t+5）=t+，

∴S=MNPG=（10﹣4t）（t+）=﹣t2﹣t+；

②當(dāng)1.4＜t＜2.5時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊，點(diǎn)P在AC上，如圖2，

此時(shí)MN=10﹣4t，AG=5﹣t，PG=AGtanA=（5﹣t）=﹣t，

∴S=MNPG=（10﹣4t）（﹣t）=t2﹣20t+；

③當(dāng)2.5＜t≤時(shí)，點(diǎn)M在點(diǎn)N的右邊，點(diǎn)P在AC上，如圖3，

此時(shí)MN=4t﹣10，AG=5﹣t，PG=AGtanA=（5﹣t）=﹣t，

∴S=MNPG=（4t﹣10）（﹣t）=﹣t2+20t﹣；

∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=；

（3）

解：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△KAC的面積變化，最大值為4，最小值為．

提示：過(guò)點(diǎn)K作KD⊥AC于D，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AC于E．

①當(dāng)0≤t≤1.4時(shí)，點(diǎn)P在BC上，如圖4，

此時(shí)AM=t，BG=t+5，

∴EM=AMsin∠EAM=t=t，BP===t+，

∴CP=CB﹣BP=8﹣（t+）=﹣t+．

∵EM⊥AC，KD⊥AC，PC⊥AC，

∴EM∥DK∥CP．

∵K為PM的中點(diǎn)，∴D為EC中點(diǎn)，

∴DK=（CP+EM）=（﹣t++t）=﹣t+，

∴S△KAC=ACDK=×6×（﹣t+）=﹣t+，

∵﹣＜0，∴S△KAC隨著t的增大而減小，

∴當(dāng)t=0時(shí)，S△KAC取到最大值，最大值為，

當(dāng)t=1.4時(shí)，S△KAC取到最小值，最小值為；

②當(dāng)1.4＜t≤時(shí)，點(diǎn)P在AC上，如圖5、圖6，

同理可得：DK為△PEM的中位線，EM=t，

∴DK=EM=t，

∴S△KAC=ACDK=×6×t=t．

∵＞0，∴S△KAC隨著t的增大而增大，

∴當(dāng)t=1.4時(shí)，S△KAC取到最小值，最小值為；

當(dāng)t=時(shí)，S△KAC取到最大值，最大值為×=4

綜上所述：△KAC的面積的最大值為4，最小值為．

【解析】（1）根據(jù)勾股定理可得AB=10，若動(dòng)點(diǎn)M、N相遇，則有t+3t=10，即可求出t的值；
（2）由于“點(diǎn)P在BC上”與“點(diǎn)P在點(diǎn)AC上”及“點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊”與“點(diǎn)M在點(diǎn)N的右邊”對(duì)應(yīng)的MN、PG的表達(dá)式不同，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式也就不同，因此需分情況討論．只需先考慮臨界位置（點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，點(diǎn)M與點(diǎn)N重合、點(diǎn)N與點(diǎn)A重合）所對(duì)應(yīng)的t的值，然后分三種情況（①0≤t≤1.4，②1.4＜t＜2.5，③2.5＜t≤）討論，用t的代數(shù)式表示出MN和PG，就可解決問(wèn)題；
（3）過(guò)點(diǎn)K作KD⊥AC于D，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AC于E，由于AC已知，要求△KAC的面積的最值，只需用t的代數(shù)式表示出DK，然后利用一次函數(shù)的增減性就可解決問(wèn)題．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行線分線段成比例的相關(guān)知識(shí)，掌握三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，以及對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)的理解，了解相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．