Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是x＝且經過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．

（1）求拋物線解析式．

（2）若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA，PC．求△PAC的面積的最大值，并求出此時點P的坐標．

（3）拋物線上是否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）PAC的面積有最大值是4，此時，P（-2，3）；（3）存在，

【解析】

(1)根據待定系數法，即可得到答案；

(2)設P，過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，則點Q，根(3)根據三角形的面積公式，得到二次函數解析式，即可得到答案；

設，則，若以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似，則或,分別求出t的值，即可得到答案.

（1）∵直線y＝x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C，

∴A（-4，0），C（0，2）

∵拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是x＝且過A（-4，0），C（0，2），

∴ ，解得：

∴拋物線解析式為：；

（2）設P，

過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，如圖，

∴點Q，

∴PQ==，

∵=，

∴當m=-2時，PAC的面積有最大值是4，此時，P（-2，3）；

（3）∵，

∴A（-4，0），C（0，2）B（1，0），

∴AB=5，AC=2，BC=，

∵，

∴AC⊥BC，

∵MN ⊥x軸，

∴若以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似，則或,

設，則，

①，

∴，解得：

②，

∴，解得：

綜上所述：存在使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似.