Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC=90°，四邊形EBOC是平行四邊形，EB交⊙O于點D，連接CD并延長交AB的延長線于點F．

（1）求證：CF是⊙O的切線；

（2）若∠F=30°，EB=4，求圖中陰影部分的面積（結果保留根號和π）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）欲證明CF是⊙O的切線，只要證明∠CDO=90°，只要證明△COD≌△COA即可．

（2）根據條件首先證明△OBD是等邊三角形，∠FDB=∠EDC=∠ECD=30°，推出DE=EC=BO=BD=OA由此根據S陰=2S△AOC﹣S扇形OAD即可解決問題．

試題解析：（1）證明：如圖連接OD．

∵四邊形OBEC是平行四邊形，∴OC∥BE，∴∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠DOC=∠AOC，在△COD和△COA中，∵OC=OC，∠COD=∠COA，OD=OA，∴△COD≌△COA，∴∠CAO=∠CDO=90°，∴CF⊥OD，∴CF是⊙O的切線．

（2）解：∵∠F=30°，∠ODF=90°，∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60°，∵OD=OB，∴△OBD是等邊三角形，∴∠DBO=60°，∵∠DBO=∠F+∠FDB，∴∠FDB=∠EDC=30°，∵EC∥OB，∴∠E=180°﹣∠OBD=120°，∴∠ECD=180°﹣∠E﹣∠EDC=30°，∴EC=ED=BO=DB，∵EB=4，∴OB=OD═OA=2，在RT△AOC中，∵∠OAC=90°，OA=2，∠AOC=60°，∴AC=OAtan60°=，∴S陰=2S△AOC﹣S扇形OAD=2××2×﹣=．