Question

【題目】已知：如圖，在正方形ABCD中，G是CD上一點，延長BC到E，使CE=CG，連接BG并延長交DE于F．

（1）求證：△BCG≌△DCE；
（2）將△DCE繞點D順時針旋轉90°得到△DAE′，判斷四邊形E′BGD是什么特殊四邊形，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠BCD=90°．

∵∠BCD+∠DCE=180°，

∴∠BCD=∠DCE=90°．

又∵CG=CE，

∴△BCG≌△DCE．

（2）解：四邊形E′BGD是平行四邊形．理由如下：

∵△DCE繞D順時針旋轉90°得到△DAE′，

∴CE=AE′．

∵CE=CG，

∴CG=AE′．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BE′∥DG，AB=CD．

∴AB﹣AE′=CD﹣CG．

即BE′=DG．

∴四邊形E′BGD是平行四邊形．

【解析】（1）首先依據正方形的性質得到：BC=CD，∠BCD=∠DCE=90°，然后再依據SAS可證明△BCG≌△DCE；
（2）由（1）得BG=DE，又由旋轉的性質知AE′=CE=CG，然后依據等式的性質可證明BE′=DG，最后依據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明四邊形E′BGD為平行四邊形.
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定和正方形的性質的相關知識點，需要掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．