Question

【題目】如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點O，AD平分∠CAB交弧BC于點D，AD與OC交于點E，連接CD、OD，給出以下四個結論： ①AC∥OD；②CE=OE；③∠CDE=∠COD；④2CD2=CEAB．
其中正確結論的序號是（在橫線上填上你認為所有正確結論的代號）．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵AB是半圓直徑， ∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD=∠DAO= ∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，故①正確．
由題意得，OD=R，AC= R，
∵OE：CE=OD：AC= ，
∴OE≠CE，故②錯誤；
∵AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點O，
∴∠AOC=∠COB=90°，
∴∠CDE= ∠AOC=45°，
∵OA=OC，
∴∠CAO=45°，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠DAO=22.5°，
∴∠COD=2∠CAD=45°，
∴∠CDE=∠COD；故③正確；
∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，
∴∠CAD= ×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圓直徑，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°
∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已證），
∴∠CDE=∠ODC﹣∠ADO=67.5°﹣22.5°=45°，
∴△CED∽△CDO，
∴ ，
∴CD2=COCE= ABCE，
∴2CD2=CEAB，故④正確．
綜上可得①③④正確．
所以答案是：①③④，

【考點精析】通過靈活運用圓周角定理和相似三角形的判定與性質，掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．