Question

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,過點C的直線MN∥AB,D為AB邊上一點,過點D作DE⊥BC,交直線MN于點E,垂足為F,連接CD,BE

（1）求證:CE=AD

（2）若D為AB的中點,則∠A的度數滿足什么條件時,四邊形BECD是正方形？請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形，理由見解析.

【解析】分析：（1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據平行四邊形的性質推出即可；
（2）求出四邊形BECD是平行四邊形，根據直角三角形的斜邊上的中線求出 CD=BD，根據菱形的判定，和正方形的判定推出即可．

詳解：（1）證明：∵DE⊥BC，

∴∠DFB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DFB，

∴AC∥DE，

∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四邊形ADEC是平行四邊形，

∴CE=AD；

（2）解：當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形，

理由如下：∵∠ACB=90°，∠A=45°，

∴∠ABC=∠A=45°，

∴AC=BC，

∵D為BA中點，

∴CD⊥AB，AD=BD

∴∠CDB=90°，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四邊形BECD是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，D為AB中點，
∴CD=BD，
∴四邊形BECD是菱形；

∴四邊形BECD是正方形，

即當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形．