Question

【題目】【問題背景】

如圖①所示，在正方形ABCD的內部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根據三角形全等的條件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，從而得到四邊形EFGH是正方形．

【類比研究】

如圖②所示，在正△ABC的內部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF兩兩相交于D，E，F三點（D，E，F三點不重合）．

（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，請選擇其中一對進行證明；

（2）△DEF是否為正三角形？請說明理由；

（3）連結AE，若AF=DF，AB=7，求△DEF的邊長．

Answer 1

【答案】（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由見解析；（2）△DEF是正三角形；理由見解析；（3）

【解析】分析：（1）由正三角形的性質得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，證出∠ABD=∠BCE，由ASA證明△ABD≌△BCE即可；

（2）由全等三角形的性質得出∠ADB=∠BEC=∠CFA，證出∠FDE=∠DEF=∠EFD，即可得出結論；

（3）先判斷出AF=FD=EF，進而得出∠FAE=∠FEA=30°，即：∠DEA=90°，再用勾股定理得出AE，即可得出結論．

詳解：（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：

∵△ABC是正三角形，

∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，

∵∠ABD=∠ABC-∠CBE，∠BCE=∠ACB-∠ACF，∠CBE=∠ACF，

∴∠ABD=∠BCE，

在△ABD和△BCE中，

，

∴△ABD≌△BCE（ASA）；

同理：△ABD≌CAF，

即：△ABD≌△BCE≌△CAF

（2）△DEF是正三角形；理由如下：

∵△ABD≌△BCE≌△CAF，

∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，

∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，

∴△DEF是正三角形；

（3）∵△DEF是正三角形，

∴∠DFE=∠FDE=60°，

又AF=FD，

∴AF=FD=EF，

∴∠FAE=∠FEA=30°，

∴∠DEA=90°，

設DE=x，則AD=BE=2x，

在Rt△ADE中，AE2=AD2-DE2=3x2，

在Rt△ABE中，AB=7，AB2=BE2+AE2，

即，49=4x2+3x2，

∴x=-（舍）或x=，

∴△DEF的邊長為．