Question

9．如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=50°，點D在線段BC上運動（點D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE=50°，DE交線段AC于E．
（1）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出∠BDA的度數；若不可以，請說明理由．
（2）若DC=2，求證：△ABD≌△DCE．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況進行討論，根據三角形的外角性質，可得當∠BDA的度數為115°或100°時，△ADE的形狀是等腰三角形；
（2）利用∠DEC+∠EDC=130°，∠ADB+∠EDC=130°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．

解答 解：（1）∵∠B=∠C=50°，∠ADE=50°，
∴∠BDA+∠EDC=∠CED+∠EDC=130°，
∴∠BDA=∠CED，
∵點D在線段BC上運動（點D不與B、C重合），
∴AD≠AE，
ⅰ）如圖所示，當EA=ED時，∠EAD=∠ADE=50°，

∴∠BDA=∠CED=50°+50°=100°；
ⅱ）如圖所示，當DA=DE時，∠EAD=∠AED=65°，

∴∠BDA=∠CED=65°+50°=115°；

（2）由（1）可得∠BDA=∠CED，
又∵∠B=∠C=50°，AB=DC=2，
∴在△ABD和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠CED}\\{∠B=∠C}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DCE（AAS）．

點評 此題主要考查了等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質等知識點的綜合應用，解決問題的關鍵是運用分類思想進行分類討論．