Question

5．△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角∠ACM的平分線交于點E．

（1）如圖1，若∠A=70°，則∠E=35°；如圖2，若∠A=90°，則∠E=45°；如圖3，若∠A=130°，求∠E=65°
（2）根據以上求解的過程，你發現∠A與∠E之間有什么關系？如果有關，寫出你的發現過程；如果沒有，請說明理由（借助圖①）
（3）如圖△ABC中，∠A=96°，延長BC到D，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點A₁，∠A₁BC的平分線與∠A₁CD的平分線交于點A₂，以此類推，∠A₄BC的平分線與∠A₄CD的平分線交于點A₅，則∠A₅的大小是3°．

Answer 1

分析 （1）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，再根據角平分線的定義可得∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD，然后整理得到∠E=$\frac{1}{2}$∠A，再分別代入數據進行計算即可得解；
（2）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，再根據角平分線的定義可得∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD，然后整理得到∠E=$\frac{1}{2}$∠A；
（3）先利用外角等于不相鄰的兩個內角之和，以及角平分線的性質求∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，再依此類推得，∠A₂=$\frac{1}{{2}^{2}}$∠A；…∠A₅=$\frac{1}{{2}^{5}}$∠A；找出規律，從而求∠A₅的值．

解答 解：（1）由三角形的外角性質得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，
∵∠ABC的平分線與∠ACB的外角∠ACM的平分線交于點E，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠E+∠EBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠A，
若∠A=70°時，∠E=$\frac{1}{2}$×70°=35°；
若∠A=90°時，∠E=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
若∠A=130°時，∠E=$\frac{1}{2}$×130°=65°；
故答案為：35°，45°，65°；

（2）由三角形的外角性質得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，
∵∠ABC的平分線與∠ACB的外角∠ACM的平分線交于點E，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠E+∠EBC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠A；

（3）∵∠BA₁C+∠A₁BC=∠A₁CD，2∠A₁CD=∠ACD=∠BAC+∠ABC，
∴2（∠BA₁C+∠A₁BC）=∠BAC+∠ABC，2∠BA₁C+2∠A₁BC=∠BAC+∠ABC，
而2∠A₁BC=∠ABC，
∴2∠BA₁C=∠BAC，
同理，可得2∠BA₂C=∠BA₁C，2∠BA₃C=∠BA₂C，2∠BA₄C=∠BA₃C，2∠BA₅C=∠BA₄C，
∴∠BA₅C=$\frac{1}{2}$∠BA₄C=$\frac{1}{4}$∠BA₃C=$\frac{1}{8}$∠BA₂C=$\frac{1}{16}$∠BA₁C=$\frac{1}{32}$∠BAC=96°÷32=3°，
故∠A₅=3°．
故答案為：3°．

點評 本題考查了三角形的內角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，角平分線的定義，熟記性質并整體思想的利用是解題的關鍵．