Question

【題目】如圖，AB與⊙O相切于點A，OB及其延長線交⊙O于C、D兩點，F為劣弧AD上一點，且滿足∠FDC=2∠CAB，延長DF交CA的延長線于點E．

(1)求證：DE=DC；

(2)若tan∠E=2，BC=1，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)⊙O的半徑為

【解析】

（1）連接OA，AD，利用“三線合一”的逆定理即可證明DE=DC；

（2）易證△ACB∽△DAB，結合已知條件可得AB：BC=2，則可求出AB的長，設圓的半徑為r，利用勾股定理可建立關于r的方程，解方程即可求出r的值．

解：(1)證明：連接OA，AD，

∵CD是為直徑，

∴∠DAC=90°，

又∵AB為⊙O切線，

∴∠OAB=90°，

∴∠DAO=∠CAB，

∵∠EDC=2∠CAB，

∴∠EDC=2∠DAO，

∵DO=AO，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠EDC=2∠ADO，

∴AD平分∠EDC，

∵AD⊥EC，

∴DE=EC；

(2)∵∠CAB=∠ADB，∠B=∠B，

∴△ACB∽△DAB，

∴

又∵∠E=∠DCA，

∴tan∠DCA=2，

即

∴

∵BC=1，

∴AB=2，

設圓的半徑為r，由勾股定理可得r2+22=(r+1)2，

解得：r=，

即⊙O的半徑為．