Question

【題目】已知：如圖，是的外接圓，且，，是的切線，為切點，割線過圓心，交于另一點，連接．

求證：；

求的半徑及的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) DC=23.8．

【解析】

（1）如圖；由AB=AC，可以得到∠1=∠2，然后利用弦切角定理就可以證得PA與BC的內錯角相等，由此得證；

（2）本題需構建直角三角形求解，連接OA，交BC于G，由垂徑定理知：OA垂直平分BC，

在Rt△ABG中，已知了AB、BG的長，根據勾股定理可求出AG的長，

在Rt△OBG中，用圓的半徑表示出OG的長，然后根據勾股定理，求出圓的半徑長，進而可求出OG的長，

△BCD中，易證得OG是△BCD的中位線，由此可求出CD的長．

解:∵是的切線，

∴．

又∵，

∴，

∴．

∴．

連接交于點，則；

由可知，，

∴．

∴為的中點，

∵，

∴．

又∵，

∴．

設的半徑為，則，

在中，

∵，

∴，

∴，；

∵是的直徑，

∴．

又∵，

∴．

∵點是的中點，

∴．