Question

如圖，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，OA、OC分別在x，y軸上，點D在OA上，且CD=AD，
（1）求直線CD的解析式；
（2）求經過B、C、D三點的拋物線的解析式；
（3）在上述拋物線上位于x軸下方的圖象上，是否存在一點P，使△PBC的面積等于矩形的面積？若存在，求出點P的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據D的坐標是（3，O），點C的坐標是（0，4），代入解析式即可得出直線CD的解析式為y=kx+b，求出即可；
（2）利用B、C，D三點坐標分別為（8，4），（0，4）．（3，O），得出拋物線解析式求出即可；
（3）由拋物線的對稱性可知．以拋物線頂點為P的△PBC面積為最大，進而得出答案即可．

解答：解：（1）設OD=x，則CD=AD=8-x．
∴（8-x）²-x²=16．
∴x=3，D的坐標是（3，O），
又點C的坐標是（0，4），
設直線CD的解析式為y=kx+b，
于是有

b=4 3k+b=0

，
∴y=-

4

3

x+4．

（2）由題意得B、C，D三點坐標分別為（8，4），（0，4）．（3，O），設拋物線解析式為y=ax²+bx+c
則有

64a+8b+c=4 c=4 9a+3b+c=0

于是可得拋物線解析式為：y=

4

15

x²-

32

15

x+4．

（3）在拋物線上不存在一點P，使△PBC的面積等于矩形ABCD的面積．
理由是：由拋物線的對稱性可知．以拋物線頂點為P的△PBC面積為最大．
由y=

4

15

x²-

32

15

x+4=

4

15

（x-4）²-

4

15

可得，頂點坐標為（4，-

4

15

）．
則△PBC的高為4+|-

4

15

|=

64

15

．
∴△PBC的面積為

1

2

×8×

64

15

=

256

15

小于矩形ABCD的面積為4×8=32．
故在x軸下方且在拋物線上不存在一點P，使△PBC的面積等于矩形ABCD的面積．

點評：此題主要考查了待定系數法求一次函數與二次函數解析式，利用已知得出以拋物線頂點為P的△PBC面積為最大求出是解決問題的關鍵．