Question

如圖，在矩形OABC中，已知A、C兩點的坐標分別為A（4，0）、C（0，2），D為OA的中點．設點這P是∠AOC平分線上的一個動點（不與點O重合）．
（1）填空：無論點P運動到何處，PC

 

PD（填“＞”、“＜”或“=”）；
（2）當點P運動到與點B的距離最小時，試確定過O、P、D三點的拋物線的解析式；
（3）設點E是（2）中所確定拋物線的頂點，當點P運動到何處時，△PDE的周長最��？求出此時點P的坐標和△PDE的周長．

Answer 1

分析：（1）由于D是OA的中點，可得OD=OC=2，而OP是角COA的平分線，易證得PC、PD所在的三角形全等，由此可判定兩條線段的數量關系為相等．
（2）當點P到點B的距離最小時，BP⊥OP；設OP與BC的交點為F，由于∠COP=45°，易證得△COF、△BPF為等腰直角三角形，過P作x軸的垂線，交BC于M，由于BF=CF=2，易求得PM、FM的值，進而可得到點P的坐標，而O、D的坐標已知，利用待定系數法即可求出該拋物線的解析式．
（3）由于OP平分∠COD，且OC=OD=2，那么C、D正好關于直線OP對稱，若△PDE的周長最小，由于DE是定長，那么PD+PE就最小，那么點P必為直線CE與OF的交點，可先求得直線CE的解析式，聯立直線OP的解析式即可求出點P的坐標，此時△PDE的最小周長即為線段CE的長，由此得解．

解答：解：（1）∵∠COP=∠DOP=45°，OC=OD=2，OP=OP，
∴△COP≌△DOP；
故PC=PD．

（2）過點B作∠AOC的平分線的垂線，垂足為P，點P即為所求．
易知點F的坐標為（2，2），
故BF=2，作PM⊥BF，
∵△PBF是等腰直角三角形，
∴PM=

1

2

BF=1，
∴點P的坐標為（3，3）．
∵拋物線經過原點，
∴設拋物線的解析式為y=ax²+bx；
又∵拋物線經過點P（3，3）和點D（2，0），
∴有

9a+3b=3 4a+2b=0

解得

a=1 b=-2

∴拋物線的解析式為y=x²-2x．

（3）由等腰直角三角形的對稱性知D點關于∠AOC的平分線的對稱點即為C點．
連接EC，它與∠AOC的平分線的交點即為所求的P點（因為PE+PD=EC，而兩點之間線段最短），此時△PED的周長最�。�
∵拋物線y=x²-ax的頂點E的坐標（1，-1），C點的坐標（0，2），
設CE所在直線的解析式為y=kx+b，則有

k+b=-1 b=2

，
解得

k=-3 b=2

；
∴CE所在直線的解析式為y=-3x+2；
點P滿足

y=-3x+2 y=x

，
解得

x= 1 2 y= 1 2

，
故點P的坐標為（

1

2

，

1

2

）．
△PED的周長即是CE+DE=

10

+

2

．

點評：此題考查了全等三角形的判定和性質、矩形的性質、軸對稱圖形的性質、二次函數解析式的確定、函數圖象交點坐標的求法以及平面展開最短路徑問題等重要知識；能夠發現C、D關于直線OP對稱，并且正確的確定點P的位置，是解答（3）題的關鍵．