Question

（2013•永春縣質檢）如圖，在矩形OABC中，點A、C的坐標分別是（a，0），（0，

3

），點D是線段BC上的動點（與B、C不重合），過點D作直線l：y=-

3

x+b交線段OA于點E．
（1）直接寫出矩形OABC的面積（用含a的代數式表示）；
（2）已知a=3，當直線l將矩形OABC分成周長相等的兩部分時
①求b的值；
②梯形ABDE的內部有一點P，當⊙P與AB、AE、ED都相切時，求⊙P的半徑．
（3）已知a=5，若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形O₁A₁B₁C₁，設CD=k，當k滿足什么條件時，使矩形OABC和四邊形O₁A₁B₁C₁的重疊部分的面積為定值，并求出該定值．

Answer 1

分析：（1）利用A、C的坐標直接求出OA、OC，利用矩形的面積計算方法求出即可
（2）一條直線可以把矩形分成周長相等的兩部分，利用直線l：y=-

3

x+b表示出D、E兩點坐標，①利用CD+OE=DB+EA求出b的值；②根據b的值，求出D、E兩點坐標連接BE，找出圓心P，利用切線的性質、銳角三角函數、相似三角形求得半徑即可；
（3）根據對稱的性質，求出重疊部分為菱形，進一步利用勾股定理解決問題．

解答：解：（1）∵A、C的坐標分別是（a，0），（0，

3

），
∴OA=

3

，OA=a，
則矩形OABC的面積是

3

a；
（2）①直線l將矩形OABC分成周長相等的兩部分，
∴CD+OE=DB+EA，
D（

b- 3

3

，

3

），E（

b

3

，0），
∴

2b- 3

3

=6-

2b- 3

3

，b=2

3

；
②D（1，

3

）、E（2，0），
連接BE，

tan∠BEA=tan∠DEO=

3

，
DEO=60°
∴∠BEA=∠BED，
∵⊙P與AB、AE、ED都相切，
∴圓心P必在BE上，
過P作PF⊥OA，垂足為F，
∴△EPF∽△EBA，
∴

PF

BA

=

EF

EA

，
設⊙P的半徑為r，

r

3

=

1-r

1

，
∴r=

3- 3

2

；
（3）由題意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四邊形DNEM為平行四邊形，
根據軸對稱知，∠MED=∠NED，
又∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四邊形DNEM為菱形．
當N與O重合時，CD=1，
當M與B重合時，CD=3，
∴當1≤k≤3時重疊部分的面積為定值．
過點D作DH⊥OA，垂足為H，
由題意知，tan∠DEN=

3

，DH=

3

，
∴HE=1，
設菱形DNEM的邊長為a，
則在Rt△DHN中，由勾股定理知，
a²=（a-1）²+（

3

）²
a=2，
∴S_{四邊形DNEM}=NE•DH=2

3

；
∴該定值為2

3

．

點評：此題綜合考查一次函數，三角形相似的判定與性質，菱形的判定與性質，勾股定理等知識點，難度較大．