Question

【題目】如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連接DE并延長至點F，使EF=AE，連接AF，CF，連接BE并延長交CF于點G．下列結論： ①△ABE≌△ACF；②BC=DF；③S△ABC=S△ACF+S△DCF；④若BD=2DC，則GF=2EG．其中正確的結論是 ． （填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①②③④
【解析】解：①正確．∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵DE=DC，
∴△DEC是等邊三角形，
∴ED=EC=DC，∠DEC=∠AEF=60°，
∵EF=AE，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AF=AE，∠EAF=60°，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF，故①正確．
②正確．∵∠ABC=∠FDC，
∴AB∥DF，
∵∠EAF=∠ACB=60°，
∴AB∥AF，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∴DF=AB=BC，故②正確．
③正確．∵△ABE≌△ACF，
∴BE=CF，S△ABE=S△AFC ，
在△BCE和△FDC中，
，
∴△BCE≌△FDC，
∴S△BCE=S△FDC ，
∴S△ABC=S△ABE+S△BCE=S△ACF+S△BCE=S△ABC=S△ACF+S△DCF ， 故③正確．
④正確．∵△BCE≌△FDC，
∴∠DBE=∠EFG，∵∠BED=∠FEG，
∴△BDE∽△FGE，
∴ = ，
∴ = ，
∵BD=2DC，DC=DE，
∴ =2，
∴FG=2EG．故④正確．

①正確．根據兩角夾邊對應相等的兩個三角形全等即可判斷．②正確．只要證明四邊形ABDF是平行四邊形即可．③正確．只要證明△BCE≌△FDC．④正確．只要證明△BDE∽△FGE，得 = ，由此即可證明．