Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，ABCD的頂點A的坐標為（﹣2，0），點D的坐標為（0，2 ），點B在x軸的正半軸上，點E為線段AD的中點，過點E的直線l與x軸交于點F，與射線DC交于點G．

（1）求∠DCB的度數；
（2）當點F的坐標為（﹣4，0）時，求點G的坐標；
（3）連接OE，以OE所在直線為對稱軸，△OEF經軸對稱變換后得到△OEF'，記直線EF'與射線DC的交點為H．
如圖2，當點G在點H的左側時，求證：△DEG∽△DHE．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△AOD中，

∵tan∠DAO= = = ，

∴∠DAB=60°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠DCB=∠DAB=60°．

（2）

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD∥AB，

∴∠DGE=∠AFE，

又∵∠DEG=∠AEF，DE=AE，

∴△DEG≌△AEF，

∴DG=AF

∵AF=OF﹣OA=4﹣2=2，

∴DG=2，

∴點G的坐標為（2，2 ），

（3）

∵CD∥AB，

∴∠DGE=∠OFE，

∵△OEF經軸對稱變換后得到△OEF′，

∴∠OFE=∠OF′E，

∴∠DGE=∠OF′E，

在Rt△AOD中，∵E是AD的中點，

∴OE= AD=AE

又∵∠EAO=60°

∴∠EOA=60°，∠AEO=60°，

又∵∠EOF'=∠EOA=60°，

∴∠EOF′=∠OEA，

∴AD∥OF′，

∴∠OF′E=∠DEH，

∴∠DEH=∠DGE，

又∵∠HDE=∠EDG，

∴△DHE∽△DEG．

【解析】（1）由于平行四邊形的對角相等，只需求得∠DAO的度數即可，在Rt△OAD中，根據A、D的坐標，可得到OA、OD的長，那么∠DAO的度數就不難求了．（2）根據點E、F的坐標求得直線EF的方程，然后將點G的縱坐標代入該直線方程即可求得點G的橫坐標．（3）根據A、D的坐標，易求得E點坐標，即可得到AE、OE的長，由此可判定△AOE是等邊三角形，那么∠OEA=∠AOE=∠EOF′=60°，由此可推出OF′∥AE，即∠DEH=∠OF′E，根據軸對稱的性質知∠OF′E=∠EFA，通過等量代換可得∠EFA=∠DGE=∠DEH，由此可證得所求的三角形相似．
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的性質和作軸對稱圖形，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；畫對稱軸圖形的方法：①標出關鍵點②數方格，標出對稱點③依次連線即可以解答此題．