Question

【題目】(1)如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中點，若AE是∠BAD的平分線，試探究AB，AD，DC之間的等量關系，證明你的結論；

(2)如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AF與DC的延長線交于點F，E是BC的中點，若AE是∠BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關系，證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）AD= DC+AB，證明見解析；（2）AB= AF+CF，證明見解析.

【解析】

（1）AD=AB+DC，理由：延長AE交DC的延長線于點F，利用AAS證明△AEB≌△FEC，根據全等三角形的性質得到AB=FC，根據等腰三角形的判定得到DF=AD，據此即可證得結論；

（2）AB=AF+CF，理由：延長AE交DF的延長線于點G，利用同（1）相同的方法證明；

（1）證明：延長AE交DC的延長線于點F，

∵E是BC的中點，

∴CE=BE，

∵AB∥DC，

∴∠BAE=∠F，

在△AEB和△FEC中，，

∴△AEB≌△FEC，

∴AB=FC，

∵AE是∠BAD的平分線，

∴∠BAE=∠EAD，

∵AB∥CD，

∴∠BAE=∠F，

∴∠EAD=∠F，

∴AD=DF，

∴AD=DF=DC+CF=DC+AB，

（2）如圖②，延長AE交DF的延長線于點G，

∵E是BC的中點，

∴CE=BE，

∵AB∥DC，

∴∠BAE=∠G，

在△AEB和△GEC中， ，

∴△AEB≌△GEC，

∴AB=GC，

∵AE是∠BAF的平分線，

∴∠BAG=∠FAG，

∵AB∥CD，

∴∠BAG=∠G，

∴∠FAG=∠G，

∴FA=FG，

∴AB=CG=AF+CF，