Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4a（a≠0）經過A（﹣1，0）、C（0，4）兩點，與x軸交于另一點B，連接AC，BC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點C作x軸的平行線交拋物線于另一點D，連接BD，點P為拋物線上一點，且∠DBP＝45°，求點P的坐標；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得由點M，A，C構成的△MAC是直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）P（﹣，）；（3）點M的坐標為（，）或（，﹣）或（，）或（，）．

【解析】

（1）-4a=4，解得：a=-1，則拋物線的表達式為：y=-x2+bx+4，將點A的坐標代入上式并解得：b=3，即可求解；
（2）設：HR=BR=x，則ER=4x，BD=5x=＝，x＝，BH＝x，BG＝1，則GH＝＝，故點H（3，），而點B（4，0），直線HB的表達式為：y= …②，
聯立①②并解得：x=4或-（舍去4），即可求解；
（3）分AM是斜邊、CM是斜邊、AC是斜邊三種情況，分別求解即可．

（1）﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，

則拋物線的表達式為：y＝﹣x2+bx+4，

將點A的坐標代入上式并解得：b＝3，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+3x+4…①；

（2）拋物線的對稱軸為：x＝，點D（3，4），

過點D作x軸的垂線交BP于點H，交x軸于點G，

過點H作HR⊥BD與點R，

則BG＝1，GD＝4，tan∠BDG＝，∠DBP＝45°，

設：HR＝BR＝x，則DR＝4x， BD＝5x＝＝，x＝， BH＝x，BG＝1，則GH＝＝，故點H（3，），而點B（4，0），同理可得直線HB的表達式為：y＝﹣x+…②，

聯立①②并解得：x＝4或﹣（舍去4），

故點P（﹣，）；

（3）設點M（，m），而點A（﹣1，0）、點C（0，4），則AM2＝+m2，CM2＝+（m﹣4）2，AC2＝17，

①當AM是斜邊時，+m2＝+（m﹣4）2+17，解得：m＝；

②當CM是斜邊時，同理可得：m＝﹣；

③當AC是斜邊時，同理可得：m＝或；

綜上，點M的坐標為：（，）或（，﹣）或（，）或（，）．