Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線經(jīng)過，，頂點(diǎn)為．

求該拋物線的表達(dá)方式及點(diǎn)的坐標(biāo)；

將中求得的拋物線沿軸向上平移個(gè)單位，所得新拋物線與軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)．當(dāng)時(shí)等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

若點(diǎn)在中求得的拋物線的對稱軸上，聯(lián)結(jié)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)得到線段，若點(diǎn)恰好落在中求得的拋物線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）坐標(biāo)為；（3）的坐標(biāo)為，．

【解析】

（1）將A與B坐標(biāo)代入拋物線解析式中求出a與c的值，即可確定出拋物線解析式，配方后即可求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）由平移規(guī)律即C的坐標(biāo)表示出D的坐標(biāo)，在直角三角形AOC中，由OA與OC的長，利用勾股定理求出AC的長，由圖形得到∠DAC為鈍角，三角形ACD為等腰三角形，只有DA=AC，求出DA的長，即為m的值，即可確定出D的坐標(biāo)；

（3）由P在拋物線的對稱軸上，設(shè)出P坐標(biāo)為（-2，n），如圖所示，過O′作O′M⊥x軸，交x軸于點(diǎn)M，過P作PN⊥O′M，垂足為N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到一對邊相等，再由同角的余角相等得到一對角相等，根據(jù)一對直角相等，利用AAS得到△PCO≌△PNO′，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到O′N=OC=2，PN=PC=|n|，再由PCMN為矩形得到MN=PC=|n|，分n大于0與小于0兩種情況表示出O′坐標(biāo)，將O′坐標(biāo)代入拋物線解析式中求出相應(yīng)n的值，即可確定出P的坐標(biāo)．

將，坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得：，

解得：，

∴拋物線解析式為，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；

由題意得：，

在中，，，

根據(jù)勾股定理得：，

由圖形得到為鈍角，要使為等腰三角形，只有，

∴，

則坐標(biāo)為；

設(shè)，如圖所示，過作軸，交軸于點(diǎn)，過作，垂足為，

易得，，，

∴，

∴，，

∵四邊形為矩形，

∴，

①當(dāng)時(shí)，，代入拋物線解析式得：，

解得：或（舍去）；

②當(dāng)時(shí)，，代入拋物線解析式得：，

解得：（舍去）或，

綜上①②得到或，

則的坐標(biāo)為，．