Question

【題目】我市某鎮的一種特產由于運輸原因，長期只能在當地銷售．當地政府對該特產的銷售投資收益為：每投入x萬元，可獲得利潤當地政府擬在“十二五”規劃中加快開發該特產的銷售，其規劃方案為：在規劃前后對該項目每年最多可投入100萬元的銷售投資，在實施規劃5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路，兩年修成，通車前該特產只能在當地銷售；公路通車后的3年中，該特產既在本地銷售，也在外地銷售．在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤

（1）若不進行開發，求5年所獲利潤的最大值是多少？

（2）若按規劃實施，求5年所獲利潤（扣除修路后）的最大值是多少？

（3）根據（1）、（2），該方案是否具有實施價值？

Answer 1

【答案】（1）205（萬元）；（2）3175（萬元）；（3）有很大的實施價值.

【解析】

（1）由P=-（x-60）2＋41知，每年只需從100萬元中拿出60萬元投資，即可獲得最大利潤41萬元，則不進行開發的5年的最大利潤P1=41×5（萬元）

（2）若實施規劃，在前2年中，當x=50時，每年最大利潤為：

P=-（50-60）2+41=40萬元，前2年的利潤為：40×2=80萬元，扣除修路后的純利潤為：80-50×2=-20萬元.設在公路通車后的3年中，則其總利潤W=［-（x-60）2＋41＋（-x2＋x＋160］×3=-3（x-30）2＋3195,當x=30時，W的最大值為3195萬元，

（3）規劃后5年總利潤為3175萬元，不實施規劃方案僅為205萬元，故具有很大的實施價值.

解：（1）由P=-（x-60）2＋41知，每年只需從100萬元中拿出60萬元投資，即可獲得最大利潤41萬元，

則不進行開發的5年的最大利潤P1=41×5=205（萬元）

（2）若實施規劃，在前2年中，當x=50時，每年最大利潤為：

P=-（50-60）2+41=40萬元，前2年的利潤為：40×2=80萬元，扣除修路后的純利潤為：80-50×2=-20萬元.

設在公路通車后的3年中，每年用x萬元投資本地銷售，而用剩下的（100-x）萬元投資外地銷售，則其總利潤W=［-（x-60）2＋41＋（-x2＋x＋160］×3=-3（x-30）2＋3195

當x=30時，W的最大值為3195萬元，

∴5年的最大利潤為3195-20=3175（萬元）

（3）規劃后5年總利潤為3175萬元，不實施規劃方案僅為205萬元，故具有很大的實施價值.