Question

【題目】已知：在△ABC中，AB＝AC＝5，M為底邊BC上的任意一點，過點M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q．

（1）求四邊形AQMP的周長；

（2）M位于BC的什么位置時，四邊形AQMP為菱形？指出點M的位置，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）四邊形AQMP的周長＝10；（2）點M位于BC的中點時，四邊形AQMP是菱形．理由見解析.

【解析】

（1）根據有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明即可；

（1）根據平行四邊形的性質可得到對應角相等對應邊相等，從而不難求得其周長．

（1）∵AB∥MP，QM∥AC，∴四邊形APMQ是平行四邊形，∴AQ=MP，QM=AP．

∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵∠B=∠PMC，∠C=∠QMB，∴∠PMC=∠QMB，∴BQ=QM，PM=PC，∴四邊形AQMP的周長=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=10．

（2）點M位于BC的中點時，四邊形AQMP是菱形．理由如下：

∵BM=MC，PM∥AB，MQ∥AC，∴AP=PC，AQ=BQ，∴PMAB，MQAC．

∵AB=AC，∴MP=MQ．

∵四邊形AQMP是平行四邊形，∴四邊形AQMP是菱形．