Question

【題目】將邊長OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐標系中，頂點O為原點，頂點C、A分別在軸和y軸上.在OA邊上選取適當的點E，連接CE，將△EOC沿CE折疊.

（1）如圖①，當點O落在AB邊上的點D處時，點E的坐標為 ；

（2）如圖②，當點O落在矩形OABC內部的點D處時，過點E作EG∥軸交CD于點H，交BC于點G. 求證：EH＝CH；

（3）如圖③，將矩形OABC變為正方形，OC＝10，當點E為AO中點時，點O落在正方形OABC內部的點D處，延長CD交AB于點T，求此時AT的長度.

Answer 1

【答案】（1）（0，5）；（2）證明見解析；（3）2.5.

【解析】試題分析：（1）根據翻折變換的性質以及勾股定理得出BD的長，進而得出AE，EO的長即可得出答案；

（2）利用平行線的性質以及等角對等邊得出答案即可；

（3）首先得出Rt△ATE≌Rt△DTE進而得出AT=DT．設AT=x，則BT=10-x，TC=10+x，在Rt△BTC中，BT2+BC2=TC2，求出即可．

試題解析：（1）∵將邊長OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐標系中，點O落在AB邊上的點D處，

∴OC=DC=10，

∵BC=8，

∴BD==6，

∴AD=10-6=4，

設AE=x，則EO=8-x，

∴x2+42=（8-x）2，

解得：x=3，

∴AE=3，

則EO=8-3=5，

∴點E的坐標為：（0，5），

故答案為：（0，5）；

（2）∵EG∥x軸，∴∠OCE＝∠CEH，

由折疊可知∠OCE＝∠ECH，

∴∠CEH＝∠ECH，

∴EH＝CH；

（3）連接ET，

由題意可知，ED＝EO，ED⊥TC，DC＝OC＝10，

∵E是AO中點，∴AE＝EO，

∴AE＝ED，

在Rt△ATE和Rt△DTE中，

，

∴Rt△ATE≌Rt△DTE（HL），

∴AT＝DT，

設，則， ，

在Rt△BTC中， ,

即，

解得，即.