Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，連結AC并延長至D，使CD=AC，連結BD，作CE⊥BD，垂足為E.

（1）線段AB與DB的大小關系為___________，請證明你的結論；

（2）求證：CE 是⊙O的切線；

（3）當△CED與四邊形ACEB的面積比是1:7時，試判斷△ABD的形狀，并證明.

Answer 1

【答案】（1）ＡＢ＝ＤＢ；（2）見解析；（3）△ＡＢＤ為等邊三角形，理由見解析

【解析】試題分析：（1）首先連接BC，由AB是⊙O的直徑，可得∠ACB=90°，又由AC=CD，利用三線合一的知識，即可判定AB=DB；

（2）首先連接OC，由點O為AB的中點，點C為AD的中點，根據三角形中位線的性質，可證得OC∥BD，又由CE⊥BD，即可證得CE⊥OC，即得CE與⊙O的切線；

（3）易證得△CED∽△BCD，然后由相似三角形的對應邊成比例證得：CD：BD=1：2，可求得∠CBD=30°，即可得∠D=60°，則可證得△ABD是等邊三角形．

試題解析：（1）AB=DB，證明如下：

連結BC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，即BC⊥AD，

又∵AC=CD，∴BC垂直平分線段AD，∴AB=DB；

（2）連接OC，

∵點O為AB的中點，點C為AD的中點，∴OC為△ABD的中位線，∴OC//BD，

又∵CE⊥BD，∴CE⊥OC，∴CE是⊙O的切線；

（3）△ABD是等邊三角形，證明如下：

由＝，

得＝，

∴＝，

即＝，∴＝， ＝，

∵∠D=∠D，∠CED=∠BCD=90°，∴△CED∽△BCD，

∴＝，即＝，∴＝，

在Rt△BCD中，∵sin∠CBD=＝，

∴∠CBD=30°，∴∠D=60°，

又∵AB=DB，∴△ABD是等邊三角形.