Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=12，AD=9，E為BC上一點，且BE=4，動點F從點A出發沿射線AB方向以每秒3個單位的速度運動.連結DF，DE, EF. 過點E作DF的平行線交射線AB于點H，設點F的運動時間為t(不考慮D、E、F在一條直線上的情況).

(1) 填空：當t= 時，AF=CE，此時BH= ；

(2）當△BEF與△BEH相似時，求t的值；

(3）當F在線段AB上時，設△DEF的面積為S,△DEF的周長為C.

① 求S關于t的函數關系式；

② 直接寫出周長C的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 、；（2）；（3）① ；② .

【解析】

（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的長，即可得到AD、t的值，從而確定AE的長，由DE=AE-AD即可得解．

（2）若△DEG與△ACB相似，要分兩種情況：①AG：DE=DH：GE，②AH：EG=DH：DE，根據這些比例線段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表達式時，要分AD＞AE和AD＜AE兩種情況）；

（3）分別表示出線段FD和線段AD的長，利用面積公式列出函數關系式即可．

（1）∵BC=AD=9，BE=4，

∴CE=9-4=5，

∵AF=CE，

即：3t=5，

∴t=，

∴，

即：，

解得BH=；

當t=時，AF=CE，此時BH=.

（2）由EH∥DF得∠AFD=∠BHE，又∵∠A=∠CBH=90°

∴△EBH∽△DAF ∴即∴BH=

當點F在點B的左邊時，即t＜4時，BF=12-3t

此時，當△BEF∽△BHE時：即解得：

此時，當△BEF∽△BEH時： 有BF=BH， 即解得：

當點F在點B的右邊時，即t＞4時,BF=3t-12

此時，當△BEF∽△BHE時：即解得：

（3）① ∵EH∥DF

∴△DFE的面積=△DFH的面積=；

② 如圖

∵BE=4，

∴CE=5，根據勾股定理得，DE=13，是定值，

所以當C最小時DE+EF最小，作點E關于AB的對稱點E'

連接DE，此時DE+EF最小，

在Rt△CDE'中，CD=12，CE'=BC+BE'=BC+BE=13，

根據勾股定理得，DE'=,

∴C的最小值=.