Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發，設出發的時間為t秒．

（1）出發2秒后，求△PBQ的面積；

（2）當點Q在邊BC上運動時，出發幾秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形？

（3）當點Q在邊CA上運動時，求能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間．

Answer 1

【答案】（1）S△PBQ=；（2）出發秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形 ；（3）當t為11秒或12秒或13.2秒時，△BCQ為等腰三角形．

【解析】

（1）根據點P、Q的速度求出AP、BQ的長，再求出BP的長，利用三角形面積公式計算即可；（2）設出發t秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形，則BP=BQ，由BQ=2t，BP=16-t，列式求得t即可；（3）當點Q在邊CA上運動時，能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間有三種情況：①當CQ=BQ時，則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得t；②當CQ=BC時，則BC+CQ=12，易求得t；③當BC=BQ時，過B點作BE⊥AC于點E，則求出BE，CE，即可得出t．

（1）∵BQ=2×2=4（cm），AP=2×1=2cm,

BP=AB﹣AP=16﹣2=14（cm ），

∵∠B=90°，

∴S△PBQ=

（2）設出發t秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形，

BQ=2t，BP=16﹣t，

根據題意得：2t=16﹣t，

解得：t =，

即出發秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形.

（3）①當CQ=BQ時，如圖1所示，

則∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ +∠ABQ=90°．

∠A +∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ，

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=10，

∴BC+CQ=22，

∴t=22÷2=11秒.

②當CQ=BC時，如圖2所示，

則BC+CQ=24，

∴t=24÷2=12秒．

③當BC=BQ時，如圖3所示，過B點作BE⊥AC于點E，

∵AB=16cm，BC=12cm，

∴AC==20cm.

則，

∴，

∴CQ=2CE=14.4，

∴BC+CQ=26.4，

∴t=26.4÷2=13.2秒．

綜上所述：當t為11秒或12秒或13.2秒時，△BCQ為等腰三角形．