Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點為A、D（A在D的右側），與y軸的交點為C，且A（4，0），C（0，﹣3），對稱軸是直線x=1．

（1）求二次函數的解析式；
（2）若M是第四象限拋物線上一動點，且橫坐標為m，設四邊形OCMA的面積為s．請寫出s與m之間的函數關系式，并求出當m為何值時，四邊形OCMA的面積最大；
（3）設點B是x軸上的點，P是拋物線上的點，是否存在點P，使得以A，B、C，P四點為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（4，0），對稱軸是直線x=l，

∴D（﹣2，0）．

又∵C（0，﹣3）

∴

解得．a= ，b=﹣ ，c=﹣3，

∴二次函數解析式為：y= x2﹣ x﹣3．

（2）

解：如圖1所示：

設M（m， x2﹣ x﹣3），|yM|=﹣ m2+ m+3，

∵S=S△ACM+S△OAM

∴S= ×OC×m+ ×OA×|yM|= ×3×m+ ×4×（﹣ m2+ m+3）=﹣ m2+3m+6=﹣ （m﹣2）2+9，

當m=2時，s最大是9．

（3）

解：當AB為平行四邊形的邊時，則AB∥PC，

∴PC∥x軸．

∴點P的縱坐標為﹣3．

將y=﹣3代入得： x2﹣ x﹣3=﹣3，解得：x=0或x=2．

∴點P的坐標為（2，﹣3）．

當AB為對角線時．

∵ABCP為平行四邊形，

∴AB與CP互相平分，

∴點P的縱坐標為3．

把y=3代入得： x2﹣ x﹣3=3，整理得：x2﹣2x﹣16=0，解得：x=1+ 或x=1﹣ ．

綜上所述，存在點P（2，﹣3）或P（1+ ，3）或P（1﹣ ，3）使得以A，B、C，P四點為頂點的四邊形為平行四邊形．

【解析】（1）利用拋物線的對稱性可得到點D的總表，然后將A、C、D的坐標代入拋物線的解析式可求得a、b、c的值，從而可得到二次函數的解析式；（2）設M（m， x2﹣ x﹣3），|yM|=﹣ m2+ m+3，由S=S△ACM+S△OAM可得到S與m的函數關系式，然后利用配方法可求得S的最大值；（3）當AB為平行四邊形的邊時，則AB∥PC，則點P的縱坐標為﹣3，將y=﹣3代入拋物線的解析式可求得點P的橫坐標；當AB為對角線時，AB與CP互相平分，則點P的縱坐標為3，把y=3代入拋物線的解析式可求得點P的橫坐標．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．