Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過點B（3，0），C（0，﹣2），直線l：y=﹣ x﹣ 交y軸于點E，且與拋物線交于A，D兩點，P為拋物線上一動點（不與A，D重合）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當點P在直線l下方時，過點P作PM∥x軸交l于點M，PN∥y軸交l于點N，求PM+PN的最大值．
（3）設F為直線l上的點，以E，C，P，F(xiàn)為頂點的四邊形能否構成平行四邊形？若能，求出點F的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把B（3，0），C（0，﹣2）代入y= x2+bx+c得， ，

∴

∴拋物線的解析式為：y= x2﹣ x﹣2

（2）

解：設P（m， m2﹣ m﹣2），

∵PM∥x軸，PN∥y軸，M，N在直線AD上，

∴N（m，﹣ m﹣ ），M（﹣m2+2m+2， m2﹣ m﹣2），

∴PM+PN=﹣m2+2m+2﹣m﹣ m﹣ ﹣ m2+ m+2=﹣ m2+ m+ =﹣ （m﹣ ）2+ ，

∴當m= 時，PM+PN的最大值是

（3）

解：能，

理由：∵y=﹣ x﹣ 交y軸于點E，

∴E（0，﹣ ），

∴CE= ，

設P（m， m2﹣ m﹣2），

∵以E，C，P，F(xiàn)為頂點的四邊形能否構成平行四邊形，

①以CE為邊，∴CE∥PF，CE=PF，

∴F（m，﹣ m﹣ ），

∴﹣ m﹣ ﹣ m2+ m+2= ，

∴m=1，m=0（舍去），

②以CE為對角線，連接PF交CE于G，

∴CG=GE，PG=FG，

∴G（0，﹣ ），

設P（m， m2﹣ m﹣2），則F（﹣m， m﹣ ），

∴ ×（ m2﹣ m﹣2+ m﹣ ）=﹣ ，

∵△＜0，

∴此方程無實數(shù)根，

綜上所述，當m=1時，以E，C，P，F(xiàn)為頂點的四邊形能否構成平行四邊形．

【解析】（1.）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y= x2+bx+c解方程組即可得到結論；（2.）設P（m， m2﹣ m﹣2），得到N（m，﹣ m﹣ ），M（﹣m2+2m+2， m2﹣ m﹣2），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結論；
（3.）求得E（0，﹣ ），得到CE= ，設P（m， m2﹣ m﹣2），①以CE為邊，根據(jù)CE=PF，列方程得到m=1，m=0（舍去），②以CE為對角線，連接PF交CE于G，CG=GE，PG=FG，得到G（0，﹣ ），設P（m， m2﹣ m﹣2），則F（﹣m， m﹣ ），列方程得到此方程無實數(shù)根，于是得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解求根公式的相關知識，掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數(shù)根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根，以及對二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．