Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，C、E是⊙O上的兩點，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延長AE交BC的延長線于點F．

求證：（1）CD是⊙O的切線；

（2）CE＝CF；

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

（1）連接OC，可證得∠CAD=∠BCD，由∠CAD+∠ABC=90°，可得出∠OCD=90°，即結論得證；

（2）證明△ABC≌△AFC可得CB=CF，又CB=CE，則CE=CF．

證明：（1）連接OC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAD+∠ABC＝90°，

∵CE＝CB，

∴∠CAE＝∠CAB，

∵∠BCD＝∠CAE，

∴∠CAB＝∠BCD，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠OCB+∠BCD＝90°，

∴∠OCD＝90°，

∴CD是⊙O的切線；

（2）∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC，

∴△ABC≌△AFC（ASA），

∴CB＝CF，

又∵CB＝CE，

∴CE＝CF；