Question

【題目】如圖，已知數軸上有三點A、B、C，若用AB表示A、B兩點的距離，AC表示A、C兩點的距離，且AB＝AC，點A、點C對應的數是分別是a、c，且|a+40|+|c﹣20|＝0．

（1）求BC的長．

（2）若點P、Q分別從A、C兩點同時出發向左運動，速度分別為2個單位長度每秒、5個單位長度每秒，則運動了多少秒時，Q到B的距離與P到B的距離相等？

（3）若點P、Q仍然以（2）中的速度分別從A、C兩點同時出發向左運動，2秒后，動點R從A點出發向右運動，點R的速度為1個單位長度每秒，點M為線段PR的中點，點N為線段RQ的中點，點R運動了多少秒時恰好滿足MN+AQ＝31；并求出此時R點所對應的數．

Answer 1

【答案】（1）BC＝40；（2）運動了秒或20秒時，Q到B的距離與P到B的距離相等；（3）點R運動了秒或秒時恰好滿足MN+AQ＝31，此時點R所對應的數為﹣或﹣．

【解析】

（1）由絕對值的非負性可求出a，c的值，進而可得出線段AC的長，結合AB= AC可求出AB的長，由BC=AC-AB可求出線段BC的長；
（2）由AB的長結合點A對應的數可求出點B對應的數，當運動時間為t秒時，點P對應的數為-2t-40，點Q對應的數為-5t+20，由Q到B的距離與P到B的距離相等，可得出關于t的一元一次方程，解之即可得出結論；
（3）當運動時間為t（t＞2）秒時，點P對應的數為-2t-40，點Q對應的數為-5t+20，點R對應的數為t-2-40，結合點M為線段PR的中點及點N為線段RQ的中點可得出點M，N對應的數，進而可得出線段MN的長，結合MN+AQ=31可得出關于t的一元一次方程，解之即可得出結論．

（1）∵|a+40|+|c﹣20|＝0，

∴a+40＝0，c﹣20＝0，

∴a＝﹣40，c＝20，

∴AC＝|﹣40﹣20|＝60．

∵AB＝AC＝20，

∴BC＝AC﹣AB＝40．

（2）∵AB＝20，點A對應的數為﹣40，且點B在點A的右邊，

∴點B對應的數為﹣20．

當運動時間為t秒時，點P對應的數為﹣2t﹣40，點Q對應的數為﹣5t+20，

∵Q到B的距離與P到B的距離相等，

∴|﹣2t﹣40﹣（﹣20）|＝|﹣5t+20﹣（﹣20）|，即2t+20＝40﹣5t或2t+20＝5t﹣40，

解得：t＝或t＝20．

答：運動了秒或20秒時，Q到B的距離與P到B的距離相等．

（3）當運動時間為t（t＞2）秒時，點P對應的數為﹣2t﹣40，點Q對應的數為﹣5t+20，點R對應的數為t﹣2﹣40，

∵點M為線段PR的中點，點N為線段RQ的中點，AQ＝|﹣40﹣（﹣5t+20）|＝|5t﹣60|，

∴點M對應的數為＝﹣﹣41，點N對應的數為＝﹣2t﹣11，

∴MN＝|﹣﹣41﹣（﹣2t﹣11）|＝|t﹣30|．

∵MN+AQ＝31，

∴|t﹣30|+|5t﹣60|＝31．

當2＜t＜12時，30﹣t+60﹣5t＝31，

解得：t＝；

當12≤t≤20時，30﹣t+5t﹣60＝31，

解得：t＝；

當t＞20時，t﹣30+5t﹣60＝31，

解得：t＝（不合題意，舍去）．

∴t﹣2＝﹣或﹣．

當t＝時，點R對應的數為﹣；當t＝時，點R對應的數為﹣．

∴點R運動了秒或秒時恰好滿足MN+AQ＝31，此時點R所對應的數為﹣或﹣．