Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣5ax﹣4交x軸于A，B兩點（點A位于點B的左側），交y軸于點C，過點C作CD∥AB，交拋物線于點D，連接AC、AD，AD交y軸于點E，且AC=CD，過點A作射線AF交y軸于點F，AB平分∠EAF．

（1）此拋物線的對稱軸是　 　；

（2）求該拋物線的解析式；

（3）若點P是拋物線位于第四象限圖象上一動點，求△APF面積S△APF的最大值，以及此時點P的坐標；

（4）點M是線段AB上一點（不與點A，B重合），點N是線段AD上一點（不與點A，D重合），則兩線段長度之和：MN+MD的最小值是　 　．

Answer 1

【答案】（1）直線x=；（2）拋物線解析式為y=x2﹣x﹣4；（3）當x=4時，S△APF的最大值為，此時P點坐標為（4，﹣）；（4）.

【解析】分析：(1)直接利用拋物線的對稱軸方程求解;(2)先確定C(0,4)再利用對稱性得到D(5,-4),從而得到CD=AC=5,然后求出A點的坐標，再把A點坐標代入y=ax-5ax-4中求出a即可;(3)作PQ∥y軸交AF于Q，如圖1,先利用待定系數法確定直線AD的解析式為y=﹣x﹣得到E(0,-)，再根據等腰三角形的三線合一確定F（0,），則易得直線AF的解析式為y=，設P（x，-4）（0＜x＜8＝，則Q（x，） ，所以PQ= ，然后利用三角形面積公式，根據可表示出，最后利用二次函數的性質解決問題；
（4）作DQ⊥AF于Q，交x軸于M，作MN⊥AD于N，EH⊥AF于H，如圖2，利用兩點之間線段最短和垂線段最短判斷此時MN+MD的值最小，再利用面積法求出EH，然后利用平行線分線段成比例定理計算DQ即可．

詳解：（1）拋物線的對稱軸為直線x=﹣=；

（2）當x=0時，y=ax2﹣5ax﹣4=﹣4，則C（0，﹣4）；

∵CD∥x軸，

∴點C與點D關于直線x=對稱，

∴D（5，﹣4），CD=5，

∵AC=CD，

∴AC=5，

在Rt△AOC中，OA==3，

∴A（﹣3，0），

把A（﹣3，0）代入y=ax2﹣5ax﹣4得9a+15a﹣4=0，解得a=，

∴拋物線解析式為y=x2﹣x﹣4；

（3）作PQ∥y軸交AF于Q，如圖1，

當y=0時， x2﹣x﹣4=0，解得x1=﹣3，x2=8，則P（8，0），

設直線AD的解析式為y=kx+b，

把A（﹣3，0），D（5，﹣4）代入得，解得，

∴直線AD的解析式為y=﹣x﹣，

當x=0時，y=﹣x﹣=﹣，則E（0，﹣），

∵AB平分∠EAF，AO⊥EF，

∴OF=OE=，

∴F（0，），

易得直線AF的解析式為y=x+，

設P（x， x2﹣x﹣4）（0＜x＜8），則Q（x， x+），

∴PQ=x+﹣（x2﹣x﹣4）=﹣x2+x+，

∴S△APF=S△PAQ﹣S△PFQ=3PQ=﹣x2+2x+=﹣（x﹣4）2+，

當x=4時，S△APF的最大值為，此時P點坐標為（4，﹣）；

（4）作DQ⊥AF于Q，交x軸于M，作MN⊥AD于N，EH⊥AF于H，如圖2，

∵AB平分∠EAF，

∴MQ=MN，

∴MN+MD=DQ，

∴此時MN+MD的值最小，

∵A（﹣3，0），E（0，﹣），D（5，﹣4），

∴AE==，AD==4，

∵OAEF=EHAF，

∴EH==，

∵EH∥DQ，

∴=，即=，

∴DQ=，

即MN+MD的最小值是．

故答案為直線x=；．