Question

如圖，⊙O是O為圓心，半徑為

5

的圓，直線y=kx+b交坐標軸于A、B兩點．
（1）若OA=OB
①求k；
②若b=4，點P為直線AB上一點，過P點作⊙O的兩條切線，切點分別為C、D，若∠CPD=90°，求點P的坐標；
（2）若k=-

1

2

，且直線y=kx+b分⊙O的圓周為1：2兩部分，求b．

Answer 1

（1）①由OA=OB，設A點坐標（a，0），則點B的坐標（0，a），
把這兩點代入直線的解析式y=kx+b得：

ak+b=0 b=a

，
解得：k=-1．
②由題意得，Rt△POC≌Rt△POD，
∴∠CPO=∠DPO=

1

2

∠CPD=45°，OP=

2

OC=

2

R=

10

，
又∵直線的函數解析式y=-x+4，
故設P點坐標（x，-x+4）
OP=

x2+(-x+4)2

=

10

，解得：x=1或3
∴P（1，3）或（3，1）
（2）由題意得，當直線被切割的弦所對的圓周角為120°時，
弦長為2Rsin60°=

3

R時，弦分圓周為1：2，符合題意，
聯立直線和圓的方程得，

y=- 1 2 x+b① x2+y2=5②

將①代入②消去y得x²+（-

1

2

x+b）²=5，即

5

4

x²-bx+b²-5=0
利用根與系數的關系可得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

16

25

b²-

16

5

b²+16=-

64

25

b²+16，
將①代入②消去x得（2b-2y）²+y²=5，即5y²-8by+4b²-5=0
利用根與系數的關系可得（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=

16

25

b²-

16

5

b²+16=-

64

25

b²+16，
將解得的兩交點坐標用兩點間距離公式得

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

3

R
解得：b=±

5

4

．