Question

【題目】△ABC中，∠C＝90°，AB＝1，tanA＝，過AB邊上一點P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，E、F是垂足，則EF的最小值等于_____．

Answer 1

【答案】.

【解析】

根據已知∠A的正切值及勾股定理求出AC、BC長，可以利用勾股定理將EF2用PE長度表示，利用二次函數的最值問題求解，也可以利用矩形對角線相等轉換成求CP最小值，利用垂線段最短和等面積法求解.

方法1：△ABC中，∠C＝90°，AB＝1，tanA＝，

∴AC＝，BC＝．

設PE＝x，則PF＝﹣x．

EF2＝PF2+PE2＝

∴EF的最小值等于．

方法2：可知四邊形CEPF是矩形，故EF＝CP

而只有當CP⊥AB時，CP才最小，

由AB＝1，tanA＝，

∴AC＝，BC＝．

由面積法可求出此時CP長

ACBC＝CPAB

即××＝CP×1

∴CP＝．

則EF的最小值等于．

故答案為：.