Question

【題目】如圖1，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，將△ABC沿著射線AB平移得到△A′B′C′，當(dāng)點(diǎn)A′與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)平移距離為m，△A′B′C′與△ABO重合部分的面積為S，S關(guān)于m的函數(shù)圖象如圖2所示．（其中0≤m≤時(shí)，函數(shù)的解析式不同）

（1）填空：a＝　 　；

（2）求直線AB的解析式；

（3）求S關(guān)于m的解析式，并寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）y＝﹣x+4；（3）S＝．

【解析】

（1）根據(jù)圖形平移距離m=AB=，當(dāng)m=0時(shí)圖象的面積即是三角形ABC的面積，由此即可求出a的值；

（2）根據(jù)函數(shù)圖象發(fā)生變化時(shí)是直線AC過點(diǎn)O，由此得到HA＝m＝，再求出BH，根據(jù)射影定理求出OA，再求出OB，得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)即可求出直線AB的解析式；

（3）分兩種情況：①當(dāng)0≤m≤時(shí)，②當(dāng)＜m≤時(shí)，求S關(guān)于m的解析式

（1）從圖2可得：AB＝2，

m＝0時(shí)，圖象沒有平移，則此時(shí)a＝S△ABC＝AB2＝10，

故答案為：10；

（2）過點(diǎn)O作，

當(dāng)邊AC過點(diǎn)O時(shí)，S的表達(dá)式發(fā)生變化，此時(shí)邊AC移動(dòng)到HC′所處的位置，

則HA＝m＝，BH＝AB﹣AH＝，

而OH2＝HAHB＝，則OA＝2，

而AB2＝20，故OB＝4，則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（2，0）、（0，4），

將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線AB的表達(dá)式為：y＝﹣x+4；

（3）①當(dāng)0≤m≤時(shí)，

如圖1左圖所示，設(shè)邊A′C′交x軸于點(diǎn)H，

則A′H＝AA′tanβ，

S＝S四邊形BA′HO＝S△ABO﹣S△AA′H＝OA×OB﹣A′A×A′H＝×m2×＝﹣m2，

當(dāng)m＝時(shí)，S＝＝b，

②當(dāng)＜m≤時(shí)，

如圖1右圖所示，設(shè)邊A′C′交y軸于點(diǎn)G，

S＝S△A′BG＝×A′B×A′G＝×AB′2×tanα＝×（﹣m）2＝（﹣m）2；

綜上，S＝.