Question

【題目】綜合與實(shí)踐

問題情境

在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“大小不等的兩個正方形”為主題開展數(shù)學(xué)活動，如圖1，現(xiàn)有一個邊長為的正方形，點(diǎn)從對角線的點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動，連接并延長至點(diǎn)，使，以為邊在右側(cè)作正方形，邊與射線交于點(diǎn).

操作發(fā)現(xiàn)

（1）點(diǎn)在運(yùn)動過程中，判斷線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

實(shí)踐探究

（2）在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，某時刻正方形與正方形重疊的四邊形的面積是，求此時的長；

探究拓廣

（3）請借助備用圖2，探究當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)，重合時，線段，與之間存在的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出.

Answer 1

【答案】（1），理由見解析；（2）；（3）①當(dāng)時，；②當(dāng)時，且點(diǎn)與點(diǎn)重合；③當(dāng)時，

【解析】

（1）首先由正方形的性質(zhì)得出，，，然后判定，進(jìn)而得出，，又由正方形EFGH得出，再由四邊形內(nèi)角和得出，進(jìn)而得出，；

（2）首先過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，得出，然后由對角線的性質(zhì)得出，，進(jìn)而判定四邊形是正方形，即可判定，然后通過面積的等量代換得出CE，進(jìn)而得出AE.

（3）根據(jù)題意，分三種情況討論即可：①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時.

（1）.

理由如下：如圖，連接.

∵是正方形的對角線，

∴，，.

在和中，

∴.

∴，.

∵四邊形是正方形，

∴.

在四邊形中，.

∵，

∴.

∴.

∴.

（2）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn).

∴.

∵點(diǎn)是正方形的對角線上的點(diǎn)，

∴，.

∴四邊形是正方形.

在和中，

∴.

∴.

∴.

∵正方形與正方形重疊的面積是，

∴.解得.

∵正方形的邊長為6，

∴.

∴.

∴此時的長為.

（3）分三種情況：

①當(dāng)時，；

②當(dāng)時，且點(diǎn)與點(diǎn)重合；

③當(dāng)時，.