Question

是等邊三角形，點是射線上的一個動點（點不與點重合），是以為邊的等邊三角形，過點作的平行線，分別交射線于點，連接．

（1）如圖（a）所示，當點在線段上時，
①求證：；
②探究：四邊形是怎樣特殊的四邊形？并說明理由；
（2）如圖（b）所示，當點在的延長線上時，
①第（1）題中所求證和探究的兩個結論是否仍然成立？（直接寫出，不必說明理由）
②當點運動到什么位置時，四邊形是菱形？并說明理由．

Answer 1

（1）①見解析，②平行四邊形（2）①成立，②BC＝CD

解：（1） ① ∵ △ABC和△ADE都是等邊三角形,
∴ AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°.
又∵ ∠EAB=∠EAD-∠BAD,∠DAC=∠BAC-∠BAD
∴ ∠EAB=∠DAC,
∴ △AEB≌△ADC． ………………………………………………………（3分）
② 四邊形是平行四邊形.  ………………………………………（6分）
（2）（1）中的結論:
① △AEB≌△ADC，② 四邊形是平行四邊形，均成立. ……………………（8分）
（3）當BC＝CD時，四邊形BCFE是菱形．……………………………………………（9分）
理由： 由①得△AEB≌△ADC，
∴BE＝BC
又∵ BE＝CD，
∴ BC＝CD．
由②得四邊形是平行四邊形，
∴ 四邊形是菱形． ……………………………………………（13分）
（1）①證明：因∠EAB＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC＝60度，所以∠EAB＝∠DAC，又EA＝DA，BA＝CA，故△AEB≌△ADC．。②于是∠EBC＝∠EBA＋∠ABC＝∠DCA＋∠ABC＝120度。那么∠EBC＋∠BCG＝120度＋60度＝180度，于是EB//GC，又EG//BC，故BCGE為一平行四邊形。    （2）BEGC仍為平行四邊形。與（1）類似，容易證明：ΔABE全等于ΔACD，那么∠ABE＝∠ACD＝120度，于是∠CBE＝∠ACB＝60度，進而BE//GC，又BC//EG，從而得證。（3）欲使其成為菱形，只須BE＝BC，又BE＝CD，故只須選取D點使BC＝CD即可。