Question

【題目】已知二次函數y=﹣x2+mx+n．
（1）若該二次函數的圖象與x軸只有一個交點，請用含m的代數式表示n；
（2）若該二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，其中點A的坐標為（﹣1，0），AB=4，請求出該二次函數的表達式及頂點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數的圖象與x軸只有一個交點，

∴△=m2+4n=0，

∴n=﹣ m2

（2）解：∵A（﹣1，0），AB=4，

∴B（3，0）或（﹣5，0）．

將A（﹣1，0），B（3，0）代入y=﹣x2+mx+n得 ，解得 ，

∴二次函數為y=﹣x2+2x+3，頂點為（1，4），

將A（﹣1，0），B（﹣5，0）代入y=﹣x2+mx+n得 ，解得 ，

∴二次函數為y=﹣x2﹣6x﹣5，頂點為（﹣3，4）

【解析】（1）由二次函數的圖象與x軸只有一個交點，所以△=0，由此即可解決問題．（2）求出點B坐標有兩種情形，分別利用方程組解決問題即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小，以及對拋物線與坐標軸的交點的理解，了解一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．